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トレース:

teaching:calculus-i:lesson13:start

差分

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--- teaching:calculus-i:lesson13:start [2026/07/20 09:03] – 作成 superuser
+++ teaching:calculus-i:lesson13:start [2026/07/20 14:36] (現在) – [証明] 153.170.74.132
@@ 行 1: / 行 1: @@
-===== 命題：分母が2重根をもつ場合 =====
+===== 命題（分母が実重根をもつ場合の部分分数分解） =====
-$a,b,\alpha$ を定数とする。このとき
+有理関数
 $$
 \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2}
+\qquad (a,b,\alpha \text{ は定数})
 $$
@@ 行 10: / 行 11: @@
 $$
-\frac{ax+b}{(x-\alpha)^2}
-=
 \frac{A}{x-\alpha}
 +
 \frac{B}{(x-\alpha)^2}
+\qquad (A,B \text{ は定数})
 $$
-の形に表すことができる。
+の形の部分分数へ分解できる．
+===== 証明 =====
-実際、両辺に $(x-\alpha)^2$ をかけると、
+分子は
 $$
-ax+b=A(x-\alpha)+B
+\begin{aligned}
+ax+b&=ax-a\alpha+a\alpha+b\\
+&=a(x-\alpha)+a\alpha+b
+\end{aligned}
 $$
-となる。
+となる．このとき
-右辺を展開すると、
 $$
-A(x-\alpha)+B
+\begin{aligned}
-=
+\frac{ax+b}{(x-\alpha)^2}
-Ax-A\alpha+B
+&=
+\frac{a(x-\alpha)+a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \\
+&=
+\frac{a(x-\alpha)}{(x-\alpha)^2}
++
+\frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \\
+&=
+\frac{a}{x-\alpha}
++
+\frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2}
+\end{aligned}
 $$
-である。
+となる．よって
-したがって係数を比較して、
 $$
-A=a
+a＝A,\qquad a\alpha+b=B
 $$
-かつ
+とおけば
-$$
--A\alpha+B=b
-$$
-である。よって
-$$
-B=b+a\alpha
-$$
-となる。
-したがって
 $$
 \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2}
 =
-\frac{a}{x-\alpha}
+\frac{A}{x-\alpha}
 +
-\frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2}
+\frac{B}{(x-\alpha)^2}
 $$
-である。
+と表すことができる．

teaching/calculus-i/lesson13/start.1784538231.txt.gz · 最終更新: 2026/07/20 09:03 by superuser