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teaching:calculus-i:lesson13:start

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teaching:calculus-i:lesson13:start [2026/07/20 09:17] – superuserteaching:calculus-i:lesson13:start [2026/07/20 14:36] (現在) – [証明] 153.170.74.132
行 1: 行 1:
-===== 命題（分母が実数の2重根をもつ場合の部分分数分解） =====+===== 命題（分母が実重根をもつ場合の部分分数分解） =====
  
 有理関数 有理関数
行 9: 行 9:
  
 は は
 +
 +$$
 +\frac{A}{x-\alpha}
 ++
 +\frac{B}{(x-\alpha)^2}
 +\qquad (A,B \text{ は定数})
 +$$
 +
 +の形の部分分数へ分解できる．
 +===== 証明 =====
 +
 +分子は
 +
 +$$
 +\begin{aligned}
 +ax+b&=ax-a\alpha+a\alpha+b\\
 +&=a(x-\alpha)+a\alpha+b
 +\end{aligned}
 +$$
 +
 +となる．このとき
 +
 +$$
 +\begin{aligned}
 +\frac{ax+b}{(x-\alpha)^2}
 +&=
 +\frac{a(x-\alpha)+a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \\
 +&=
 +\frac{a(x-\alpha)}{(x-\alpha)^2}
 ++
 +\frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \\
 +&=
 +\frac{a}{x-\alpha}
 ++
 +\frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2}
 +\end{aligned}
 +$$
 +
 +となる．よって
 +
 +$$
 +a＝A,\qquad a\alpha+b=B
 +$$
 +
 +とおけば
  
 $$ $$
行 16: 行 61:
 + +
 \frac{B}{(x-\alpha)^2} \frac{B}{(x-\alpha)^2}
-\qquad (A,B \text{ は定数}) 
 $$ $$
  
-の形で表すことができる．+と表すことができる．
teaching/calculus-i/lesson13/start.1784539071.txt.gz · 最終更新: by superuser