teaching:calculus-i:lesson13:start
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| teaching:calculus-i:lesson13:start [2026/07/20 09:20] – superuser | teaching:calculus-i:lesson13:start [2026/07/20 14:36] (現在) – [証明] 153.170.74.132 | ||
|---|---|---|---|
| 行 11: | 行 11: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} | ||
| - | = | ||
| \frac{A}{x-\alpha} | \frac{A}{x-\alpha} | ||
| + | + | ||
| 行 19: | 行 17: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | の形で表すことができる． | + | の形の部分分数へ分解できる． |
| ===== 証明 ===== | ===== 証明 ===== | ||
| - | 両辺に $(x-\alpha)^2$ をかけると， | + | 分子は |
| $$ | $$ | ||
| - | ax+b=A(x-\alpha)+B | + | \begin{aligned} |
| + | ax+b&=ax-a\alpha+a\alpha+b\\ | ||
| + | &=a(x-\alpha)+a\alpha+b | ||
| + | \end{aligned} | ||
| $$ | $$ | ||
| - | となる．右辺を展開すると， | + | となる．このとき |
| $$ | $$ | ||
| - | A(x-\alpha)+B=Ax-A\alpha+B | + | \begin{aligned} |
| + | \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} | ||
| + | &= | ||
| + | \frac{a(x-\alpha)+a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \\ | ||
| + | &= | ||
| + | \frac{a(x-\alpha)}{(x-\alpha)^2} | ||
| + | + | ||
| + | \frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \\ | ||
| + | &= | ||
| + | \frac{a}{x-\alpha} | ||
| + | + | ||
| + | \frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} | ||
| + | \end{aligned} | ||
| $$ | $$ | ||
| - | である．したがって，係数を比較して | + | となる．よって |
| $$ | $$ | ||
| - | A=a | + | a＝A, |
| $$ | $$ | ||
| - | かつ | + | とおけば |
| - | + | ||
| - | $$ | + | |
| - | -A\alpha+B=b | + | |
| - | $$ | + | |
| - | + | ||
| - | を得る．よって | + | |
| - | + | ||
| - | $$ | + | |
| - | B=a\alpha+b | + | |
| - | $$ | + | |
| - | + | ||
| - | である．したがって | + | |
| $$ | $$ | ||
| \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} | \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} | ||
| = | = | ||
| - | \frac{a}{x-\alpha} | + | \frac{A}{x-\alpha} |
| + | + | ||
| - | \frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} | + | \frac{B}{(x-\alpha)^2} |
| $$ | $$ | ||
| と表すことができる． | と表すことができる． | ||
teaching/calculus-i/lesson13/start.1784539205.txt.gz · 最終更新: by superuser