===== 命題（分母が実重根をもつ場合の部分分数分解） =====

有理関数

$$
\frac{ax+b}{(x-\alpha)^2}
\qquad (a,b,\alpha \text{ は定数})
$$

は

$$
\frac{A}{x-\alpha}
+
\frac{B}{(x-\alpha)^2}
\qquad (A,B \text{ は定数})
$$

の形の部分分数へ分解できる．
===== 証明 =====

分子は

$$
\begin{aligned}
ax+b&=ax-a\alpha+a\alpha+b\\
&=a(x-\alpha)+a\alpha+b
\end{aligned}
$$

となる．このとき

$$
\begin{aligned}
\frac{ax+b}{(x-\alpha)^2}
&=
\frac{a(x-\alpha)+a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \\
&=
\frac{a(x-\alpha)}{(x-\alpha)^2}
+
\frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \\
&=
\frac{a}{x-\alpha}
+
\frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2}
\end{aligned}
$$

となる．よって

$$
a＝A,\qquad a\alpha+b=B
$$

とおけば

$$
\frac{ax+b}{(x-\alpha)^2}
=
\frac{A}{x-\alpha}
+
\frac{B}{(x-\alpha)^2}
$$

と表すことができる．