Math Course Materials

有理関数

$$ \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} \qquad (a,b,\alpha \text{ は定数}) $$

は

$$ \frac{A}{x-\alpha} + \frac{B}{(x-\alpha)^2} \qquad (A,B \text{ は定数}) $$

の形の部分分数へ分解できる．

分子は

$$ \begin{aligned} ax+b&=ax-a\alpha+a\alpha+b\\ &=a(x-\alpha)+a\alpha+b \end{aligned} $$

となる．このとき

$$ \begin{aligned} \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} &= \frac{a(x-\alpha)+a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \\ &= \frac{a(x-\alpha)}{(x-\alpha)^2} + \frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \\ &= \frac{a}{x-\alpha} + \frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \end{aligned} $$

となる．よって

$$ a＝A,\qquad a\alpha+b=B $$

とおけば

$$ \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} = \frac{A}{x-\alpha} + \frac{B}{(x-\alpha)^2} $$

と表すことができる．