Math Course Materials

$a,b,\alpha$ を定数とする。このとき

$$ \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} $$

は

$$ \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} = \frac{A}{x-\alpha} + \frac{B}{(x-\alpha)^2} $$

の形に表すことができる。

実際、両辺に $(x-\alpha)^2$ をかけると、

$$ ax+b=A(x-\alpha)+B $$

となる。

右辺を展開すると、

$$ A(x-\alpha)+B = Ax-A\alpha+B $$

である。

したがって係数を比較して、

$$ A=a $$

かつ

$$ -A\alpha+B=b $$

である。よって

$$ B=b+a\alpha $$

となる。

したがって

$$ \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} = \frac{a}{x-\alpha} + \frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} $$

である。