Math Course Materials

有理関数

$$ \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} \qquad (a,b,\alpha \text{ は定数}) $$

は

$$ \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} = \frac{A}{x-\alpha} + \frac{B}{(x-\alpha)^2} \qquad (A,B \text{ は定数}) $$

の形で表すことができる．

両辺に $(x-\alpha)^2$ をかけると，

$$ ax+b=A(x-\alpha)+B $$

となる．右辺を展開すると，

$$ A(x-\alpha)+B=Ax-A\alpha+B $$

である．したがって，係数を比較して

$$ A=a $$

かつ

$$ -A\alpha+B=b $$

を得る．よって

$$ B=a\alpha+b $$

である．したがって

$$ \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2} = \frac{a}{x-\alpha} + \frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} $$

と表すことができる．